Mengenal Rumus Matematika Calculus

 

Calculus atau kalkulus adalah cabang matematika yang mempelajari tentang perhitungan limit, turunan, integral, dan deret. Berikut beberapa rumus matematika yang terkait dengan calculus.

 

Limit

Dalam kalkulus, limit adalah konsep matematika yang digunakan untuk menggambarkan perilaku fungsi matematika saat nilai inputnya mendekati suatu nilai tertentu (biasanya didekati dari kedua sisi). Secara formal, limit dapat didefinisikan sebagai nilai yang dicapai oleh fungsi matematika saat variabel input mendekati suatu nilai tertentu.

Contoh sederhana, jika kita memiliki fungsi f(x) = 2x + 1, maka nilai limit f(x) saat x mendekati 2 dapat dinyatakan sebagai berikut:

lim x→2 (2x + 1) = 5

Artinya, saat nilai x mendekati 2 (dari kedua sisi), maka nilai f(x) mendekati 5. Dalam hal ini, 5 adalah nilai limit dari f(x) saat x mendekati 2.

Pengertian limit juga dapat diterapkan pada fungsi matematika yang tidak kontinu atau memiliki asimtot, dan dalam konteks turunan dan integral. Limit merupakan konsep penting dalam kalkulus dan banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu yang melibatkan matematika, seperti fisika, teknik, dan ekonomi.

\lim_{x \to a} f(x) = L

\lim_{x \to \infty} f(x) = L

\lim_{x \to -\infty} f(x) = L

 

Turunan

Turunan adalah konsep matematika yang merupakan ukuran laju perubahan suatu fungsi terhadap variabel inputnya. Dalam kalkulus, turunan didefinisikan sebagai batas perubahan fungsi saat perubahan kecil pada variabel inputnya dilakukan. Turunan sering digunakan untuk mempelajari sifat-sifat fungsi matematika seperti titik maksimum dan minimum, titik infleksi, serta kecepatan perubahan fungsi tersebut.

Secara matematis, turunan dari fungsi f(x) pada titik x=a dinyatakan sebagai f'(a) atau df(x)/dx saat x=a. Turunan dapat dihitung menggunakan rumus turunan yang ada dalam kalkulus, seperti rumus turunan fungsi dasar seperti fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi trigonometri, dan lain-lain.

Pengertian turunan sangat penting dalam kalkulus dan digunakan dalam banyak aplikasi di berbagai bidang ilmu, seperti fisika, ekonomi, teknik, dan lain-lain. Beberapa contoh aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari antara lain dalam perhitungan kecepatan, percepatan, dan perubahan suhu.

f'(x) = \frac{df(x)}{dx}

\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)] = \frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}

\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x))g'(x)

 

Integral

Integral adalah salah satu konsep penting dalam kalkulus yang merupakan kebalikan dari turunan. Integral adalah operasi matematika yang digunakan untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi tertentu di bidang koordinat. Dalam konteks matematika, integral juga dapat digunakan untuk menentukan nilai rata-rata, jumlah, dan volume.

Secara matematis, integral dinyatakan sebagai limit dari jumlah tak terbatas partisi kecil dari daerah yang ingin dihitung luasnya. Integral dinyatakan dengan simbol ∫ dan memiliki notasi tertentu. Misalnya, integral dari fungsi f(x) pada interval [a,b] dinyatakan sebagai:

∫[a,b] f(x) dx

Integral memiliki dua jenis, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral). Integral tak tentu adalah operasi yang menghasilkan fungsi sebagai jawaban, sedangkan integral tentu adalah operasi yang menghasilkan bilangan riil sebagai jawaban.

Integral sangat penting dalam berbagai bidang ilmu seperti fisika, teknik, ekonomi, dan lain-lain. Beberapa aplikasi integral dalam kehidupan sehari-hari antara lain dalam perhitungan volume benda padat, luas bidang dengan bentuk yang kompleks, dan perhitungan probabilitas.

\int f(x) dx

\int_a^b f(x) dx

\int u dv = uv - \int v du

 

Deret

Deret kalkulus adalah deret tak terhingga dari suku-suku bilangan yang diperoleh dari penjumlahan atau pengurangan suku-suku yang terus-menerus mengalami perubahan pada setiap suku berikutnya, di mana setiap suku memiliki hubungan matematika tertentu dengan suku sebelumnya. Deret kalkulus biasanya digunakan untuk menghitung fungsi-fungsi matematika yang rumit atau untuk memperkirakan solusi suatu masalah matematika dengan menggunakan pendekatan atau estimasi nilai deret. Contoh deret kalkulus yang populer adalah deret Taylor dan deret Fourier.

\sum_{n=1}^\infty a_n

\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k

\sum_{n=0}^\infty a_n x^n

Berbagi :